좌표변환(평행이동, 회전이동), 구면좌표계, 원통좌표계

좌표변환

평행이동(각 요소에대해 평행이동벡터를 더한다)

회전변환

변환 행렬

  R_x(θ) = [  1      0       0   ]

               [  0    cosθ  -sinθ]

               [  0    sinθ   cosθ]

 

  R_y(θ) = [conθ    0      sinθ]

                [  0       1        0  ]

                [-sinθ    0     cosθ]

 

  R_z(θ) = [cosθ  -sinθ     0  ]

              [sinθ   cosθ     0  ]

               [  0       0        1  ]

**항상 방향은 반시계방향(오른손을 들어서 엄지를 축으로뒀을때 감기는방향)

3D회전좌표 R = R_z(θ_3) R_y(θ_2) R_x(θ_1)

 

좌표축이아닌 임의의 단위벡터 u = (u_x, u_y, u_z)을 회전축으로 한 회전변환 행렬은

다음과 같다.(단, u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 = 1)

             [   cosθ+u_x^2*(1-cosθ)       u_x*u_y*(1-cosθ)-u_z*sinθ     u_x*u_z*(1-cosθ)+u_y*sinθ]

      R = [u_y*u_x*(1-cosθ)+u_z*sinθ       cosθ+u_y^2*(1-cosθ)        u_y*u_z*(1-cosθ)-u_x*sinθ] 

             [u_z*u_x*(1-cosθ)+u_y*sinθ   u_z*u_y*(1-cosθ)+u_x*sinθ        cosθ+u_z^2*(1-cosθ)   ]

 

 

회전변환R, 평행이동 t= [tx, ty, tz]^T를 이용한 일반적인 3D변환식(rigid변환)은 다음과같다.

[X`]       [X]    [t_x]

[Y`] = R[Y] + [t_y]

[Z`]       [Z]    [t_z]

 

2D변환과 마찬가지로, 3D 변환에서도 homogeneous 좌표를 사용하면 다음과 같이

회전변환과 평행이동을 하나의 변환행렬로 즉, 선형변환 형태로 표현할수 있다.

[X`]     [r_11   r_12   r_13   t_x]    [X]

[Y`] =  [r_21  r_22  r_23  t_y] + [Y]

[Z`]     [r_31  r_32  r_33   t_z]    [Z]

[1 ]       [  0       0     0      1  ]    [1]

 

 

 

 

구면좌표계(spherical coordinate system)

3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통(r,θ, Φ)로 나타낸다.

원점에서의 거리 r은 0부터 무한대까지,

양의방향의 z축과 이루는 각도 θ는 0부터π까지,

z축을 축으로 양의방향의 x축과 이루는 각 Φ는 0부터 2π까지의 값을 갖는다.

 

θ는 위도로, Φ는 경도로 표현되는 경우도 있다.

하나의 점을 나타내는 좌표는 여러개일수 있다. 축지점의 좌표들이 대게 그럼

 

직교좌표계->구면좌표계

r = 루트(x^2 + y^2 + z^2)

θ= arccos(z/r)

Φ= arctan(y/x)

 

구면좌표계->직교좌표계

x = r*sinθ*cosΦ

y = r*sinθ*sinΦ

z = r*cosθ

 

단위벡터

  단위R =(dR/dr) / l(dR/dr)l = [sinθ*cosΦ]

                                             [sinθ*sinΦ ]

                                             [   cosθ    ]

 

  단위벡터θ =(dR/dθ) / l(dR/dθ)l = [cosθ*cosΦ]

                                                     [cosθ*sinΦ ]

                                                     [  -sinθ     ]

 

  단위벡터Φ =(dR/dΦ) / l(dR/dΦ)l = [-sinΦ]

                                                       [ cosΦ]

                                                       [   0  ]

 

 

 

원통좌표계(cylindrical coordinate system)

3차원 공간을 나타내기 위해, 평면 극좌표계에 평면에서부터의 높이z(혹은 h)를 더해,

(r,θ, z)로 이루어지는 좌표계이다.

원통좌표계는 한 축을 중심으로 대칭성을 갖는 경우에 유용하다.

예를들면, 반지름이 c인 무한히 긴 원통의 직교좌표계에서의 식은 x^2 + y^2 = c^2이지만,

원통좌표계에서는 간단히 r = c가 된다. 이런 이유로 원통좌표계란 이름이 붙어있다.

- r은 원점에서 p의점을 xy평면으로의 사영p`까지의 거리를 나타낸다. (lplcosθ)(r>=0)

- θ는 양의 x축 방향에서 반시계 방향으로 측정한 op까지의 각이다.(0<=θ<=2π)

- z는 z(높이)와 같다.(z제한없음)

 

직교좌표계->원통좌표계

  r = 루트(x^2 + y^2)

  θ= tan^-1(y/x)

  z = z

 

단위벡터

  단위R =(dR/dr) / l(dR/dr)l = [sinθ]

                                              [sinθ]

                                              [  0  ]

 

  단위벡터θ =(dR/dθ) / l(dR/dθ)l = [-sinθ]

                                                     [ cosθ]

                                                     [  0    ]

 

  단위벡터z =(dR/dz) / l(dR/dz)l = [0]

                                                    [0]

                                                    [1]